• 单摆和双摆模拟
  • 发布时间:2020-04-03 03:22 | 作者:admin | 来源:原创 | 浏览:1200 次
  •   本节起首引见若何应用拉格朗日力学取得双摆系统的微分方程组。

      假定杆L1连接的球体的坐标为x1和y1,杆L2连接的球体的坐标为x2和y2,那么x1,y1,x2,y2和两个角度之间有以下关系:

      依据拉格朗日量的公式:

      个中T为系统的动能,V为系统的势能,可以掉掉落以下公式:

      个中正号的项目为两个小球的动能,符号的项目为两个小球的势能。

      将前面的坐标和角度之间的关系公式带入以后整顿可得:

      关于变量 \theta_1 的拉格朗日方程:

      掉掉落:

      关于变量 \theta_2 的拉格朗日方程:

      掉掉落:

      这一计算过程可以用sympy停止推导:

      履行此依次以后,eq1对应于 \theta_1 的拉格朗日方程, eq2对应于 \theta_2 的方程。

      因为sympy只能对符号变量求导数,即只能计算 D(L, t), 而不能计算D(f, v(t))。 因此在求偏导数之前,将偏导数变量置换为一个tmp变量,然后对tmp变量求导数,例以下面的依次行对D(v(t), t)求偏导数,即计算 \partial \mathcal{L} / \partial \dot v

      而在计算 \partial \mathcal{L} / \partial v 时,需求将v(t)交换为v以后再停止微分计算。因为将v(t)交换为v的同时,会将 D(v(t), t) 中的也停止交换,这是我们不欲望的结果,因此先将 D(v(t), t) 交换为tmp,微分计算终了以后再交换归去:

      最后掉掉落的eq1, eq2的值为:

      结果看上去挺复杂,其实只需应用以下的三角公式就和前面的结果不合了:

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